PageRank算法

1. PageRank算法概述

         PageRank,网页排名,又称网页级别Google左側排名佩奇排名。

        是Google创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1997年构建早期的搜索系统原型时提出的链接分析算法,自从Google在商业上获得空前的成功后,该算法也成为其他搜索引擎和学术界十分关注的计算模型。眼下许多重要的链接分析算法都是在PageRank算法基础上衍生出来的。PageRank是Google用于用来标识网页的等级/重要性的一种方法,是Google用来衡量一个站点的好坏的唯一标准。在揉合了诸如Title标识和Keywords标识等全部其他因素之后,Google通过PageRank来调整结果,使那些更具“等级/重要性”的网页在搜索结果中另站点排名获得提升,从而提高搜索结果的相关性和质量。其级别从0到10级,10级为满分。PR值越高说明该网页越受欢迎(越重要)。比如:一个PR值为1的站点表明这个站点不太具有流行度,而PR值为7到10则表明这个站点很受欢迎(或者说极其重要)。一般PR值达到4,就算是一个不错的站点了。Google把自己的站点的PR值定到10,这说明Google这个站点是很受欢迎的,也能够说这个站点很重要。

 

2. 从入链数量到 PageRank

        在PageRank提出之前,已经有研究者提出利用网页的入链数量来进行链接分析计算,这样的入链方法如果一个网页的入链越多,则该网页越重要。早期的非常多搜索引擎也採纳了入链数量作为链接分析方法,对于搜索引擎效果提升也有较明显的效果。 PageRank除了考虑到入链数量的影响,还參考了网页质量因素,两者相结合获得了更好的网页重要性评价标准。
对于某个互联网网页A来说,该网页PageRank的计算基于下面两个基本如果:
     数量如果:在Web图模型中,如果一个页面节点接收到的其它网页指向的入链数量越多,那么这个页面越重要。
     质量如果指向页面A的入链质量不同,质量高的页面会通过链接向其它页面传递很多其它的权重。所以越是质量高的页面指向页面A,则页面A越重要。
       利用以上两个如果,PageRank算法刚開始赋予每一个网页同样的重要性得分,通过迭代递归计算来更新每一个页面节点的PageRank得分,直到得分稳定为止。 PageRank计算得出的结果是网页的重要性评价,这和用户输入的查询是没有不论什么关系的,即算法是主题无关的。如果有一个搜索引擎,其相似度计算函数不考虑内容相似因素,全然採用PageRank来进行排序,那么这个搜索引擎的表现是什么样子的呢?这个搜索引擎对于随意不同的查询请求,返回的结果都是同样的,即返回PageRank值最高的页面。

 

3. PageRank算法原理

      PageRank的计算充分利用了两个如果:数量如果质量如果。过程例如以下:
      1)在初始阶段网页通过链接关系构建起Web图,每一个页面设置同样的PageRank值,通过若干轮的计算,会得到每一个页面所获得的终于PageRank值。随着每一轮的计算进行,网页当前的PageRank值会不断得到更新。

      2)在一轮中更新页面PageRank得分的计算方法:在一轮更新页面PageRank得分的计算中,每一个页面将其当前的PageRank值平均分配到本页面包括的出链上,这样每一个链接即获得了对应的权值。而每一个页面将全部指向本页面的入链所传入的权值求和,就可以得到新的PageRank得分。当每一个页面都获得了更新后的PageRank值,就完毕了一轮PageRank计算。 

 

3.2 基本思想:

       假设网页T存在一个指向网页A的连接,则表明T的全部者觉得A比較重要,从而把T的一部分重要性得分赋予A。这个重要性得分值为:PR(T)/L(T)

     当中PR(T)为T的PageRank值,L(T)为T的出链数

        则A的PageRank值为一系列类似于T的页面重要性得分值的累加。

        即一个页面的得票数由全部链向它的页面的重要性来决定,到一个页面的超链接相当于对该页投一票。一个页面的PageRank是由全部链向它的页面(链入页面)的重要性经过递归算法得到的。一个有较多链入的页面会有较高的等级,相反假设一个页面没有不论什么链入页面,那么它没有等级。

3.3 PageRank简单计算:

       如果一个由仅仅有4个页面组成的集合:A,B,C和D。如果全部页面都链向A,那么A的PR(PageRank)值将是B,C及D的和。

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       继续如果B也有链接到C,而且D也有链接到包含A的3个页面。一个页面不能投票2次。所以B给每一个页面半票。以相同的逻辑,D投出的票仅仅有三分之中的一个算到了A的PageRank上。

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      换句话说,依据链出总数平分一个页面的PR值。

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样例:

        如图1 所看到的的样例来说明PageRank的详细计算过程。  

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3.4  修正PageRank计算公式:

         因为存在一些出链为0,也就是那些不链接不论什么其它网页的网, 也称为孤立网页,使得非常多网页能被訪问到。因此须要对 PageRank公式进行修正,即在简单公式的基础上添加了阻尼系数(damping factor)q, q一般取值q=0.85。

      其意义是,在随意时刻,用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。 1- q= 0.15就是用户停止点击,随机跳到新URL的概率)的算法被用到了全部页面上,估算页面可能被上网者放入书签的概率。

      最后,全部这些被换算为一个百分比再乘上一个系数q。因为以下的算法,没有页面的PageRank会是0。所以,Google通过数学系统给了每一个页面一个最小值。

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     这个公式就是.S Brin 和 L. Page 在《The Anatomy of a Large- scale Hypertextual Web Search Engine Computer Networks and ISDN Systems 》定义的公式。

     所以一个页面的PageRank是由其它页面的PageRank计算得到。Google不断的反复计算每一个页面的PageRank。假设给每一个页面一个随机PageRank值(非0),那么经过不断的反复计算,这些页面的PR值会趋向于正常和稳定。这就是搜索引擎使用它的原因。

 

4. PageRank幂法计算(线性代数应用)

4.1 完整公式:

关于这节内容,能够查阅:谷歌背后的数学

首先求完整的公式:

Arvind Arasu 在《Junghoo Cho Hector Garcia - Molina, Andreas Paepcke, Sriram Raghavan. Searching the Web》 更加准确的表达为:

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技术分享是被研究的页面,技术分享技术分享链入页面的数量,技术分享技术分享链出页面的数量,而N是全部页面的数量。

PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量。这个特征向量为:

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R是例如以下等式的一个解:

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假设网页i有指向网页j的一个链接,则

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否则技术分享=0。

4.2 使用幂法求PageRank

      那我们PageRank 公式能够转换为求解技术分享的值,

      当中矩阵为 A = q  × P + ( 1 一 q) * 技术分享 /N 。 P 为概率转移矩阵,技术分享为 n  维的全 1 行. 则 技术分享=

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     幂法计算步骤例如以下:
      X  设随意一个初始向量, 即设置初始每一个网页的 PageRank值均。一般为1.

     R = AX;

     while  (1 )(

            if ( l X - R I  <  技术分享) { //假设最后两次的结果近似或者同样,返回R

                  return R;

           }    else   {

                X =R;

               R = AX;

         }

    }

4.3 求解步骤:

一、 P概率转移矩阵的计算过程:

        先建立一个网页间的链接关系的模型,即我们须要合适的数据结构表示页面间的连接关系。

      1) 首先我们使用图的形式来表述网页之间关系:

       如今如果仅仅有四张网页集合:A、B、C,其抽象结构例如以下图1:

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                                    网页间的链接关系

      显然这个图是强连通的(从任一节点出发都能够到达另外不论什么一个节点)。

      2)我们用矩阵表示连通图:

       用邻接矩阵 P表示这个图中顶点关系 ,假设顶(页面)i向顶点(页面)j有链接情况 ,则pij   =   1 ,否则pij   =   0 。如图2所看到的。假设网页文件总数为N , 那么这个网页链接矩阵就是一个N x N  的矩 阵 。 

      3)网页链接概率矩阵

       然后将每一行除以该行非零数字之和,即(每行非0数之和就是链接网个数)则得到新矩阵P’,如图3所看到的。 这个矩阵记录了 每一个网页跳转到其它网页的概率,即当中i行j列的值表示用户从页面i 转到页面j的概率。图1 中A页面链向B、C,所以一个用户从A跳转到B、C的概率各为1/2。

      4)概率转移矩阵P

       採用P’ 的转置矩 阵进行计算, 也就是上面提到的概率转移矩阵P 。  如图4所看到的:

     

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         图2  网页链接矩阵:                                      图3  网页链接概率矩阵:  
 
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                         图4  P’ 的转置矩 阵

 

二、 A矩阵计算过程。


      1)P概率转移矩阵  :

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      2)技术分享/N 为:

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      3)A矩阵为:q  × P + ( 1 一 q) * 技术分享 /N = 0.85  × P + 0.15  *技术分享 /N

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      初始每一个网页的 PageRank值均为1 , 即X~t = ( 1 , 1 , 1 ) 。 

三、 循环迭代计算PageRank的过程

       第一步:

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          由于X 与R的区别较大。 继续迭代。

          第二步:

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       继续迭代这个过程...

      直到最后两次的结果近似或者同样,即R终于收敛,R 约等于X,此时计算停止。终于的R 就是各个页面的 PageRank 值。

用幂法计算PageRank 值总是收敛的,即计算的次数是有限的。

 

      Larry Page和Sergey Brin 两人从理论上证明了不论初始值怎样选取,这样的算法都保证了网页排名的预计值能收敛到他们的真实值。

      因为互联网上网页的数量是巨大的,上面提到的二维矩阵从理论上讲有网页数目平方之多个元素。假设我们假定有十亿个网页,那么这个矩阵 就有一百亿亿个元素。这样大的矩阵相乘,计算量是很大的。Larry Page和Sergey Brin两人利用稀疏矩阵计算的技巧,大大的简化了计算量。

 

5. PageRank算法优缺点

长处

        是一个与查询无关的静态算法,全部网页的PageRank值通过离线计算获得;有效降低在线查询时的计算量,极大降低了查询响应时间。

缺点:

       1)人们的查询具有主题特征,PageRank忽略了主题相关性,导致结果的相关性和主题性减少

        2)旧的页面等级会比新页面高。由于即使是非常好的新页面也不会有非常多上游链接,除非它是某个网站的子网站。

 

 

 參考文献:

PageRank算法的分析及实现

《这就是搜索引擎:核心技术具体解释》

 

 

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