NOJ1060 接苹果 二维DP

题目描述

很少有人知道奶牛爱吃苹果。农夫约翰的农场上有两棵苹果树（编号为1和2）， 每一棵树上都长满了苹果。奶牛贝茜无法摘下树上的苹果，所以她只能等待苹果 从树上落下。但是，由于苹果掉到地上会摔烂，贝茜必须在半空中接住苹果（没有人爱吃摔烂的苹果）。贝茜吃东西很快，她接到苹果后仅用几秒钟就能吃完。每一分钟，两棵苹果树其中的一棵会掉落一个苹果。贝茜已经过了足够的训练， 只要站在树下就一定能接住这棵树上掉落的苹果。同时，贝茜能够在两棵树之间 快速移动（移动时间远少于1分钟），因此当苹果掉落时，她必定站在两棵树其中的一棵下面。此外，奶牛不愿意不停地往返于两棵树之间，因此会错过一些苹果。苹果每分钟掉落一个，共T（1<=T<=1000）分钟，贝茜最多愿意移动W（1<=W<=30） 次。现给出每分钟掉落苹果的树的编号，要求判定贝茜能够接住的最多苹果数。 开始时贝茜在1号树下。

输入

第一行2个数，t和k。接下来的t行，每行一个数，代表在时刻t苹果是从1号苹果树还是从2号苹果树上掉下来的。

输出

对于每个测试点，输出一行，一个数，为奶牛最多接到的苹果的数量。

输入样例

7 2
2
1
1
2
2
1
1

输出样例

6(输出注解：贝茜不移动直到接到从第1棵树上掉落的两个苹果，然后移动到第2棵树下，直到接到从第2棵树上掉落的两个苹果，最后移动到第1棵树下，接住最后两个从第1 棵树上掉落的苹果。这样贝茜共接住6个苹果。)

解题思路

这是一题二维DP  我们用dp[i][j]表示到前i个苹果，换了j次的最大苹果数量。

假设我们现在已经考虑完了i-1的情况。

那么如果第i个苹果我们移动：有dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 当前位置是否有苹果(0或1)

如果第i个苹果我们不移动：有dp[i][j] = dp[i-1][j] + 当前位置是否有苹果(0or1)

(当前位置：换了j次 如果j是奇数  那么奶牛肯定在2号树   如果j是偶数 那么奶牛肯定是在1号树）

下面我们考虑一下dp的初始化。做了几道DP问题之后我发现DP问题最难的地方在建立DP数组 而最需要小心的地方则是DP数组的初始化，这题就跳进了一个陷阱。。。幸好及时发现了。

从状态转移方程我们知道要初始化dp[x][0]和dp[1][x]

dp[x][0] 即不移动 一直在1号树下面 能接到多少自己脑补。。。

dp[1][x]即只考虑第一个苹果 奶牛在下面移来移去。。。自己脑补

下面放代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int maxpingguo= 1010;
const int maxyidong = 35;
using namespace std;
int dp[maxpingguo][maxyidong];
int apple[maxpingguo][3];//apple[i][j]=1为在第i分钟j树上有苹果 这样设计apple数组为下面的DP创造方便
int main()
{
    int pingguo,yidong;
    scanf("%d%d",&pingguo,&yidong);
    for(int i = 1 ; i <= pingguo ; i ++) {
        int t;
        scanf("%d",&t);
        apple[i][t] = 1;
    }
    //dp初始化
    for(int i = 1 ; i <= yidong ; i ++) {
        if(i%2) {
            if(apple[1][2]) dp[1][i] = 1;
            else dp[1][i] = 0;
        }else {
            if(apple[1][1]) dp[1][i] = 1;
            else dp[1][i] = 0;
        }
    }
    for(int i = 1  ; i <= pingguo ; i ++) {/*这里有一个陷阱，一开始我觉得上面已经初始化过dp[1][1]了 所以直接从i=2走起了
                                            *但实际上如果yidong=0的情况下上面的初始化并不会执行！！
                                            */
        dp[i][0] = dp[i-1][0] +apple[i][1];
    }
    //dp
    for(int j = 1 ; j <= yidong ; j ++) {
        for(int i = 2 ; i <= pingguo ; i ++) {
            if(j%2) {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]) +apple[i][2];
            }else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]) +apple[i][1];
            }
        }
    }
    int _max = -1;
    for(int i = 0 ; i <= yidong ; i ++) {
        if(_max < dp[pingguo][i]) _max = dp[pingguo][i];
    }
    printf("%d\n",_max);
    return 0;
}